Pengukuran Gejala Pusat

Ukuran gejala pusat adalah suatu ukuran yang digunakan untuk mengetahui kumpulan data mengenai sampel atau populasi yang disajikan dalam tabel atau diagram, yang dapat mewakili sampel atau populasi. Jenis-jenis pengukuran pusat yaitu :

A.        Rata-Rata Hitung (Mean)

Mean merupakan nilai yang diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai data dan membaginya dengan jumlah data. Mean merupakan nilai yang menunjukkan pusat dari nilai data dan merupakan nilai yang dapat mewakili dari keterpusatan data.

1. Rata-Rata Hitung Populasi

Merupakan nilai rata-rata dari data semua anggota suatu ekosistem atau keseluruhan anggota dari suatu kelompok (populasi). Rumus rata-rata hitung populasi adalah :

Rata – rata hitung populasi =       jumlah seluruh nilai dalam populasi

                                                     jumlah data atau observasi dalam populasi

Atau bisa juga di tulis :

µ    =    ∑X

                               N

2. Rata-Rata Hitung Sampel

Karena adanya keterbatasan waktu, biaya, dan tenaga untuk mencari rata-rata hitung populasi, maka ada teknik rata-rata hitung suatu bagian atau proporsi dari populasi tertentu yang menjadi kajian atau perhatian (sampel). Rumus rata-rata hitung sampel adalah :

Rata – rata hitung sampel =     jumlah seluruh nilai dalam sampel

            jumlah data atau observasi dalam sampel

Atau bisa juga ditulis:

µ    =    ∑X

                               N

3. Rata-Rata Hitung Tertimbang

Pada perhitungan rata-rata hitung populasi dan sampel, setiap data dianggap mempunyai tingkat atau bobot yang sama. Namun, dalam beberapa kasus ada data yang dipandang mempunyai bobot yang berbeda. Bobot yang berbeda dari data tersebut dikarenakan pengaruh waktu dan pengaruh volume. Untuk itu beberapa ahli ekonomi dan statistik mempertimbangkan adanya pembobotan data berdasarkan pertimbangan-pertimbangan yang logis. Jadi Rata-Rata Hitung Tertimbang adalah suatu nilai yang diperoleh dari suatu kelompok data yang dinyatakan sebagai X_1,  X_2, X_3,  …. X _n berturut-turut ditimbang dengan bobot W_1, W₂, W_3,  …. W_n.

4. Rata-Rata Data Berkelompok

Pengertian data berkelompok adalah data yang sudah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi. Data-data yang sudah dikelompokkan dalam suatu kelas akan memiliki karakteristik yang sama, dan dalam suatu kelas dicerminkan oleh nilai tengah kelasnya.

5. Sifat Rata-Rata Hitung                                                                                      1.  Setiap kelompok baik dalam bentuk skala interval maupun rasio mempunyai rata-rata hitung                                                                                                2.    Semua nilai data harus dimasukkan ke dalam perhitungan rata-rata hitung         3.    Satu kelompok baik kelas maupun satu kesatuan dalam populasi dan sampel hanya mempunyai satu rata-rata hitung                                                                         4.   Rata-rata hitung untuk membandingkan karakteristik dua atau lebih populasi atau sampel                                                                                                               5.  Rata-rata hitung sebagai satu-satunya ukuran pemusatan, maka jumlah deviasi setiap nilai terhadap rata-rata hitungnya selalu sama dengan nol                            6.  Rata-rata hitung sebagai titik keseimbangan dari keseluruhan data, maka letaknya berada ditengah data                                                                                          7.    Rata-rata hitung nilainya sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem yaitu nilai yang sangat besar atau sangat kecil                                                                            8.    Bagi data dan sekelompok data yang sifatnya terbuka ( lebih dari atau kurang dari) tidak mempunyai rata-rata hitung.

B.      Median

Median merupakan salah satu ukuran pemusatan. Suatu nilai yang berada di tengah-tengah data, setelah data tersebut diurutkan. Atau dengan kata lain, Median adalah titik tengah dari semua nilai data yang telah diurutkan dari nilai yang terkecil ke yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar ke yang terkecil.

1.         Median untuk Data Tidak Berkelompok

Adalah nilai yang letaknya di tengah data yang telah diurutkan, namun datanya belum dikelompokkan ke dalam kelas/kategori tertentu atau belum dalam bentuk distribusi frekuensi. Cara untuk mencari nilai median di data tidak berkelompok:

ü  Letak dari median dapat dicari dengan rumus (n+1)/2

ü  Apabila jumlah datanya ganjil, maka nilai median merupakan nilai yang letaknya di tengah data.

ü  Apabila jumlah datanya genap, maka nilai median merupakan nilai rata-rata dari dua data yang letaknya berada di tengah.

Contoh : berikut adalah rencana penambahan pesawat dari 6 perusahaan maskapai penerbangan nasional pada tahun 2007.

No.	Nama Maskapai Penerbangan	Unit Rencana Penambahan
1	Garuda Indonesia	8
2	Merpati Nusantara	8
3	Lion Air	30
4	Pelita Air Service	3
5	Adam Air	6
6	Mandala Airlines	2

Penyelesaian letak dan nilai mediannya :

ü  Menentukan letak median (n+1)/2 = (6+1)/2 = 3,5

ü  Mengurutkan data dari yang terbesar ke yang terkecil, urutannya menjadi :

Urutan nilai           : 30   8   8   6   3   2

Urutan letak         :  1     2   3   4   5   6

ü  Letak median 3,5 terletak antara urutan letak 3 dan 4. Nilai median adalah ke- 3 ditambah nilai ke- 4 dibagi 2 yaitu (8+6)/2 = 7 Jadi, nilai mediannya adalah 7.

2.         Median untuk Data Berkelompok

Pengertian median untuk data berkelompok tetaplah sama yaitu nilai yang letaknya ada di tengah data, sehingga data berada setengahnya di atas dan setengahnya di bawah. Yang membedakannya adalah pada data berkelompok nilai informasi atau karakteristik dari masing-masing data tidak dapat diidentifikasi lagi, yang dapat diketahui hanya karakter dari kelas atau intervalnya. Akibatnya akan terdapat kesulitan dalam menentukan nilai median yang tepat pada suatu interval kelas. Oleh sebab itu, pengukuran dilakukan dengan cara sebagai berikut:

ü  Menentukan letak kelas dimana nilai median berada. Letak median untuk data berkelompok adalah n/2, dimana n adalah jumlah frekuensi.

ü  Melakukan interpolasi di kelas median untuk mendapatkan nilai median dengan rumus sebagai berikut:

3.         Sifat-Sifat Median

ü  Nilai median bersifat unik, untuk sekelompok data hanya ada satu nilai median

ü  Untuk menentukan nilai median harus dilakukan pengurutan data dari yang terkecil ke terbesar atau sebaliknya.

ü  Nilai median tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem seperti halnya nilai rata-rata hitung

ü  Median dapat dihitung untuk sebuah distribusi frekuensi dengan kelas interval yang terbuka

ü  Semua skala pengukuran baik rasio, interval, dan ordinal dapat digunakan untuk mencari nilai median

C.      Modus

Modus merupakan salah satu ukuran pemusatan di samping rata-rata hitung dan median. Modus adalah suatu nilai pengamatan yang paling sering muncul. Modus sebagai ukuran pemusatan memiliki kelebihan dan kekurangan. Kelebihan modus adalah mudah ditemukan, dapat digunakan untuk semua skala pengukuran, serta tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Kelemahannya, terkadang sekumpulan data tidak memiliki modus atau memiliki modus lebih dari satu. Cara untuk mencari modus :

ü  Untuk data tidak berkelompok, maka modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling banyak.

ü  Untuk data berkelompok, maka modus diperoleh dari rumus sebagai berikut:

Mo =   L +        d1       x i

                            d1 + d2

Dimana:

Mo =   Nilai modus

L =       Batas bawah atau tepi kelas dimana modus berada

d1 =     selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 =    selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

i =        besarnya interval kelas.

D.     Kuartil, Desil dan Persentil

Kuartil, adalah nilai yang membagi sekelompok data menjadi 4 bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya. Ada tiga buah kuartil, ialah kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga yang masing-masing disingkat K_1, K₂, K₃. Pemberian nama ini dimulai dari kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil :

1. susun data menurut urutan nilainya
2. tentukan letak kuartil
3. tentukan nilai kuartil

Letak K₁= data ke, dengan I = 1,2, 3

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kuartil K_i (i = 1, 2, 3) dihitung dengan rumus :

K_i = b + p, dengan i = 1,2, 3

Dengan :

b = batas bawah kelas K_i, ialah kelas interval di mana K_i akan terletak.

p = panjang kelas K_i

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas K_i

f = frekuensi kelas K_i

Desil, yaitu nilai yang membagi sekumpulan data menjadi 10 bagian yang sama setelah dta itu diurutkan. Karenanya ada sembilan buah desil ialah desil pertama, desil kedua,……, desil kesembilan yang disingkat dengan D_1, D_2,……….D_3.

Desil- desil ini dapat ditentukan dengan jalan.

1. susun data menurut urutan nilainya
2. tentukan letak desil
3. tentukan nilai desil

Letak desil ditentukan oleh rumus :

Letak D_i = data ke,dengan i = 1, 2, 3 ……, 9

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, nilai D_i (i = 1,2, ….., 9) dihitung dengan rumus :

D_i = b + p, dengan i = 1, 2, 3 …

Dengan :

b = batas bawah kelas D_i,

p  = panjang kelas D_i

F = jumlah frekuensi sebelum kelas D_i

f = frekuensi kelas D_i.

Jika sekumpulan data yang dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang berturut-turut dinamakan persentil pertama, persentil kedua,……., persentil ke 99. Simbol yang digunakan berturut-turut P₁, P₂ …….., P_99.

Karena cara perhitungannya sama seperti perhitungan desil, maka disini hanya diberikan rumus-rumusnya letak persentil P_i (I = 1,2,3 ….., 99) untuk sekumpulan data ditentukan oleh rumus : Letak P_i = data ke, dengan i = 1, 2, 3 ……, 99

Untuk nilai P_i untuk data dalam daftar distribusi frekuensi dihitung dengan :

P_i = b + p, dengan i = 1, 2, 3 …..,99

Dengan :

b = batas bawah kelas D_i, p  = panjang kelas D_i

F = jumlah frekuensi sebelum kelas D_i

f = frekuensi kelas D_i.