Pengukuran Penyimpangan (Range, Deviasi, Varian)

Pengukuran Penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penuimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.

Pengukuran penyimpangan pada dasarnya adalah pelengkap dari ukuran nilai pusat dalam menggambarkan sekumpulan data. Jadi, dengan adanya ukuran penyimpangan maka penggaambaran sekumpulan data akan menjadi lebih jelas dan tepat.

Ada beberapa macam ukuran penyimpangan atau dispersi misalnya nilai jarak (range), rata-rata simpangan (mean deviation), simpangan baku (standard deviation) dan koefisien variasi (coefficient of variation).

Range (Rentang/Jangkauan)

Nilai rentang ini menunjukkan selisih antara data yang paling tinggi dengan data yang paling rendah. Dengan melihat ukuran ini maka dapat diketahui gambaran secara kasar tentang variasi suatu distribusi data. Nilai range ini sangat kasar, karena tidak mempertimbangkan nilai-nilai yang lain selain nilai ekstrimnya

Rumus Rentang Data :

R = x_t  - x_r        

Dimana  :

R          =  Rentang

x_t         =  Data terbesar dalam kelompok

x_r         =  Data terkecil dalam kelompok

Contoh :

Nilai Kuis 10 Mahasiswa antara lain 100, 75, 30, 85, 87, 25, 100, 55, 87, 70

Data terkecil   = 25

Data terbesar  = 100

R = 100 – 25 = 75

Maka range data tersebut adalah 75. Rentang data inilah yang menunjukan tingkat variasi kelompok.

Varian dan Standar Deviasi

Salah seorang pembaca blog ini bertanya tentang maksud dari standar deviasi serta bagaimana mencari standar deviasi dari suatu kelompok data. Berangkat dari pertanyaan tersebutlah maka postingan tentang varian dan standar deviasi ini dibuat.

Berbicara tentang standar deviasi atau simpangan baku dalam bahasa Indonesia tidak bisa lepas dari varians. Hal ini karena standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians atau sebaliknya, varians adalah kuadrat dari standar deviasi.

Dispersi mengukur variasi data yang diteliti dari angka rata-ratanya. Perbedaan antara nilai data yang diteliti dengan nilai rata-ratanya disebut dengan deviasi (deviation).

Ada berbagai cara untuk mengukur deviasi, antara lain :

1)      Deviasi rata-rata

2)      Deviasi absolut rata-rata

3)      Deviasi kuadrat rata-rata

4)      Varian

5)      Deviasi standar

1) Deviasi Rata-rata (Average Deviation)

Deviasi rata-rata adalah penjumlahan dari deviasi masing-masing data yang diteliti dengan nilai rata-ratanya dibagi dengan jumlah data.

                               ∑ ( x_i – x )

Deviasi rata-rata = ---------------

                                    n

Kelemahan deviasi rata-rata adalah jika nilai deviasi yang bertanda negatif sama besar dengan nilai deviasi yang bertanda positif, maka deviasi rata-rata yang merupakan penjumlahan akan sama dengan nol.

2) Deviasi Absolut Rata-rata (Mean Absolute Deviation)

Deviasi ini menghitung deviasi rata-rata dengan mengabaikan tanda positif atau negatif pada nilai deviasi setiap data yang diteliti dan hanya menggunakan nilai absolut untuk masing-masing deviasi.

                                            ∑│ x_i – x │

Deviasi absolut rata-rata = ---------------

                                                  n

3) Deviasi Kuadrat Rata-rata (Mean Squared Deviation)

Cara lain yang digunakan untuk menghilangkan tanda positif atau negatif pada masing-masing deviasi, selain dengan deviasi rata-rata absolut, adalah dengan mengkuadratkan masing-masing deviasi.

                                ∑ ( x_i – x )²

Deviasi rata-rata = ---------------

                                      n

4) Varian (variance)

Nilai rata-rata dari eviasi yang dikuadratkan tersebut bermanfaat untuk mengukur variabilitas sampel. Penghitungan nilai rata-rata tersebut dalam kaitannya dengan proses inferensi akan cenderung menghasilkan estimasi yang lebih rendah terhadap parameter populasinya, karena menggunakan jumlah data (n) sebagai pembagi dari jumlah deviasi yang dikuadratkan. Untuk mengeliminasi masalah estimasi tersebut, pernghitungan nilai rata-rata deviasi yang dikuadratkan dibagi dengan (n-1). Perhitungan rata-rata ini selanjutnya disebut dengan varian sampel (s²).

                       ∑ ( x_i – x )²

Varian = s² = ----------------

                            (n-1)

5) Deviasi Standar (Standard Deviation)

Varian mengukur dispersi dengan nilai yang dikuadratkan.

Penggunaan kudrat sebagai ukuran mempunyai kelemahan, yaitu :

• Semakin besar nilai deviasi masing-masing data yang diteliti dari rata-ratanya, maka nilai variannya juga semakin besar.
• Jika data yang diteliti berupa satuan uang (Rupiah), maka variannya dalam bentuk rupiah yang dikuadratkan.

Untuk mengembalikan ukuran dispersi menjadi ukuran (semula) yang sama dengan ukuran data yang diteliti, dihitung nilai akar dari varian yang selanjutnya disebut dengan deviasi standar (s).

Contoh :

n = 9, x = 30
x	( xi – x )	│ xi – x │	( xi – x )2
40	10	10	100
10	-20	20	400
20	-10	10	100
40	10	10	100
35	5	5	25
25	-5	5	25
15	-15	15	225
40	10	10	100
45	15	15	225
∑	0	100	1.300

Berdasarkan data diatas, pengukuran tendensi sentral dan dispersi adalah sebagai berikut :

• Deviasi rata-rata                              = 0
• Deviasi absolut rata-rata                = 100/9 = 11,11
• Deviasi kuadrat rata-rata               = 1.300/9 = 144,44
• Varian                                                             = 1.300/8 = 162,50
• Deviasi standar                                 = 12,75

VARIAN

Varian merupakan jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual terhadap rata-rata kelompok. Varian merupakan konsep yang cukup penting dalam statistik, karena merupakan dasar dari banyak metode statistik inferensial. Sebagai contoh, berikut adalah tampilan data:

10, 12, 15, 16 dan 12

Maka dapat dengan mudah dihitung rata-rata dari lima data di atas adalah (10 + 12 + 15 + 16 + 12)/5 = 65/5 = 13. Varian dihitung berdasarkan kuadrat selisih dari masing-masing data terhadap nilai rata-ratanya, sehingga:

(10-13)^2 + (12-13)^2 + (15-13)^2 + (16-13)^2 + (12-13)^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + 2^2 + 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 + 4 + 9 + 1 = 24.

Jadi besarnya varian adalah 24 dibagi 5 (jumlah data jika merupakan populasi) atau dibagi 5-1 = 4 jika merupakan sampel. Sehingga nilainya adalah 24/4 = 6 (dianggap merupakan sampel).

Dan jika akan dihitung standar deviasi maka akar kuadrat dari 6 yaitu sebesar 2,449.

Varian merupakan ukuran variabilitas data, yang berarti semakin besar nilai varian berarti semakin tinggi fluktuasi data antara satu data dengan data yang lain.

Contoh :

data gaji pada dua kelompok masyarakat di bawah:

Kelompok kampung: 3 juta, 1 juta, 6 juta, 8 juta, rata-rata 4,5 juta
Kelompok perumahan: 4 juta, 5 juta, 4,2 juta, 4,8 juta, rata-rata 4,5 juta.

Empat orang dari dua kelompok diambil secara acak dan diambil data gaji perbulannya. Kelompok pertama, terdiri dari empat orang warga kampung X, yang pertama mempunyai gaji 3 juta, yang kedua 1 juta, yang ketiga 6 juta dan yang keempat 8 juga, maka rata-ratanya adalah sebesar 4,5 juta.

Empat orang dari kelompok kedua, yaitu warga perumahan, yang pertama mempunyai gaji 4 juta, yang kedua 5 juta, yang ketiga 4,2 juta dan yang keempat 4,8 juta dengan rata-rata 4,5 juta.

Tampak bahwa rata-rata kedua kelompok adalah sama yaitu sebesar 4,5 juta. Tampilan data dengan rata-rata, menimbulkan bias, karena seolah-olah mempunyai rata-rata yang sama, sehingga kebijakan yang diambil dapat salah. Jika kita menghitung varian dari kedua kelompok tersebut akan diperoleh bahwa kelompok pertama mempunyai varian sebesar 29/3 = 9,67 dan untuk kelompok kedua mempunyai varian sebesar 0,68/3 = 0,227. Tampak bahwa varian kelompok satu (warga kampung) lebih tinggi dari pada varian kelompok kedua (warga perumahan). Interpretasinya adalah bahwa pendapatan warga kampung sangat berfluktuatif ada yang kecil ada yang sangat besar. Akan tetapi pendapatan warga perumahan relatif sama dan mempunyai tingkat ekonomi yang relatif sama antara satu warga dengan warga perumahan yang lain. Dengan menyertakan nilai varian pada rata-rata akan memberikan informasi yang lebih akurat. Demikian juga dengan standar deviasi, yang besarnya merupakan akar kuadrat dari varian.