Kuartil, Nilai Rata - Rata Ukur, dan Nilai Rata - Rata Harmonik

KUARTIL, NILAI RATA-RATA UKUR, DAN NILAI RATA-RATA HARMONIK

KUARTIL

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 4 bagian sama besar, atau setiap bagian dari kuartil sebesar 25%.

Kuartil 1 (K₁) membagi data sebelah kiri sebesar 25% dan sebelah kanan sebesar 75%. Kuartil 2 (K₂) membagi data menjadi dua bagian yang sama yaitu sisi kanan dan kiri sebanyak 50%. Kalau kurvanya berbentuk simetris, maka K2 sama dengan median. 

Kuartil 3 (K₃) membagi data sebelah kiri sebesar 75% dan sebelah kanan sebesar 25%.

Rumus mencari letak kuartil untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok :

Jenis Kuartil	Rumus Kuartil
	Data Tidak Berkelompok	Data Berkelompok
Kuartil 1 (K1)	[1(n+1)]/4	1n/4
Kuartil 2 (K2)	[2(n+1)]/4	2n/4
Kuartil 3 (K3)	[3(n+1)]/4	3n/4

Contoh data tidak berkelompok yang memiliki letak kuartil bulat : Berikut adalah harga saham 19 perusahaan yang terdaftar di BEJ. Dari data tersebut carilah K₁,K₂, dan K₃!

No.	Perusahaan	Harga Saham
1	PT Kimia Farma	160
2	PT United Tractor	285
3	PT Bank Swadesi	300
4	PT Hexindo Adi Perkasa	360
5	PT Bank Lippo	370
6	PT Dankos Laboratories	405
7	PT Matahari Putra Prima	410
8	PT Jakarta International Hotel	450
9	PT Berlian Laju Tangker	500
10	PT Mustika Ratu	500
11	PT Ultra Jaya Milk	500
12	PT Indosiar Visual Mandiri	525
13	PT Great River Int.	550
14	PT Ades Alfindo	550
15	PT Lippo Land Development	575
16	PT Asuransi Ramayana	600
17	PT Bank Buana Nusantara	650
18	PT Timah	700
19	PT Hero Supermarket	875

Penyelesaian :

K₁ = [1(n+1)]/4 = [1 (19+1)]/4 = (1 x 20)/4 = 20/4 = 5 ———-> Jadi nilai K₁ adalah 370

K₂ = [2(n+1)]/4 = [2 (19+1)]/4 = (2 x 20)/4 = 40/4 = 10 ———-> Jadi nilai K₂ adalah 500

K₃ = [3(n+1)]/4 = [3 (19+1)]/4 = (3 x 20)/4 = 60/4 = 15 ———-> Jadi nilai K₃ adalah 575

Contoh data tidak berkelompok yang memiliki letak kuartil pecahan : Berikut adalah keuntungan bersih 8 perusahaan pada tahub 2007. Carilah K₁,K₂, dan K₃!

No.	Perusahaan	Keuntungan
1	PT Alfa Retailindo	25
2	PT Astra Graphia	65
3	PT Aneka Tambang	123
4	PT Astra Agro Lestari	180
5	PT Bimantara Citra	392
6	PT Indosat	436
7	PT H. M. Sampoerna	1480
8	PT Telkom	7568

Penyelesaiannya :

K₁ = [1(n+1)]/4 = [1 (8+1)]/4 = (1 x 9)/4 =    9/4 = 2,25

K₂ = [2(n+1)]/4 = [2 (8+1)]/4 = (2 x 9)/4 = 18/4 = 4,50

K₃ = [3(n+1)]/4 = [3 (8+1)]/4 = (3 x 9)/4 = 27/4 = 6,75

Apabila letak kuartil berupa pecahan, atau tidak ada nilai yang pas pada letak tersebut, maka untuk menghitung nilai kuartil menggunakan rumus sebagai berikut:

NK = NKB + [ (LK – LKB) / (LKA – LKB) ] x (NKA – NKB )

Dimana :

NK      = Nilai kuartil

NKB   = Nilai kuartil yang berada di bawah letak kuartil

LK       = Letak kuartil

LKB    = Letak data kuartil yang berada di bawah letak kuartil

LKA    = Letak data kuartil yang berada di atas letak kuartil

NKA   = Nilai kuartil yang berada di atas letak kuartil

Jadi, nilai kuartil untuk letak kuartil 2,25 adalah :

NK      = 65 + [ (2,25 – 2) – (3 – 2) ] x (123 – 65)

           = 65 + (0,25/1) x 58

           = 65 + 1

           = 79,5

Nilai kuartil untuk kuartil 4,5 adalah :

NK      = 180 + [ (4,5 – 4) – (5 – 4) ] x (392 – 180)

           = 180 + (0,5/1) x 212

           = 180 + 106

           = 286

Nilai kuartil untuk kuartil 6,75 adalah :

NK      = 436 + [ (6,75 – 6) – (7 – 6) ] x (1480 – 436)

           = 436 + (0,75/1) x 1.044

           = 436 + 783

           = 1.219

Contoh data berkelompok : Hitunglah K₁,K₂, dan K₃ dari data yang sudah dikelompokkan pada kasus 20 saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ!

Kelas	frekuensi	Frekuensi kumulatif	Nilai Tepi Kelas
160 – 303	2	0	159,5
304 – 447	5	2	303,5
448 – 591	9	7	447,5
592 – 735	3	16	591,5
736 – 878	1	19	735,5
		20	878,5

Penyelesaiannya :

a. Menentukan letak data kuartil untuk data berkelompok

K₁ = ( 1 x 20 )/4 = 5

K₂ = ( 2 x 20 )/4 = 10

K₃ = ( 3 X 20 )/4 = 15

b. Melakukan interpolasi untuk mengetahui nilai kuartil dengan rumus sebagai berikut:

Maka,

K₁        = 303,5 + [(5 – 2)/5] x 143

           = 303,5 + 85,8

           = 389,3

K₂        = 447,5 + [(10 – 7)/9] x 143

           = 447,5 + 47,67

           = 495,17

K₃        = 447,5 + [(15 – 7)/9] x 143

           = 447,5 + 127,1

           = 574,61

NILAI RATA-RATA UKUR

Nilai rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah hasil perkalian bilangan tersebut, diakar pangkatkan sebanyaknya bilangan itu sendiri.

Rata rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu yaitu banyaknya nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang berurutan tetap atau hampir tetap. Bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini maka rata rata ukur akan lebih baik dari pada rata rata hitung. Cara menghitung nilai rata-rata ukur :

Rata rata ukur G dari kelompok data X_i , X₂ , X₃ , …X_n didefinisikan sebagai berikut :

Contoh: Tentukan rata rata ukur (GEOMETRIC MEAN)  data 2, 4, 8

Penyelesaiannya :

n = 3

Log 2 = 0,3010

Log 4 = 0,6021

Log 8 = 0,9031

Maka Log 2 + Log 4 + Log 8 = 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 = 1,8062

Jadi, rata-rata ukurnya 4

NILAI RATA-RATA HARMONIK

Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data X₁, X₂, …, X_n adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

Secara umum, rata-rata harmonik jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.

Contoh:

Nyonya Lukman melakukan perjalanan dari Bandung ke Sidoarjo pulang pergi,     Dalam perjalanan tersebut naik kereta api. Bertolak dari Bandung ke Sidoarjo berkecepatan 90 km/jam, tetapi waktu pulang mampir dulu ke yagyakarta dengan kecepatan 70 km/jam, kemudian hari berikutnya dilanjutkan lagi perjalanan menuju Bandung dengan kecepatan 80 km/jam, berapakah kecepatan rata rata perjalan nyonya Lukman

Penyelesaiannya :

Kecepatan Pertama X₁ = 90 km / jam

Kecepatan Kedua    X₂ = 70 km / jam

Kecepatan Ketiga    X₃ = 80 km / jam

n = 3

Jadi, rata-rata harmoniknya 79.155km/jam