KUARTIL, NILAI RATA-RATA UKUR,
DAN NILAI RATA-RATA HARMONIK
KUARTIL
Kuartil
adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang
berkelompok menjadi 4 bagian sama besar, atau setiap bagian dari kuartil
sebesar 25%.
Kuartil 1 (K1)
membagi data sebelah kiri sebesar 25% dan sebelah kanan sebesar 75%. Kuartil 2
(K2) membagi data menjadi dua bagian yang sama yaitu sisi kanan dan
kiri sebanyak 50%. Kalau kurvanya berbentuk simetris, maka K2 sama dengan
median.
Kuartil 3 (K3) membagi data sebelah kiri sebesar 75% dan
sebelah kanan sebesar 25%.
Rumus
mencari letak kuartil untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok :
|
Jenis
Kuartil
|
Rumus
Kuartil
|
|
|
Data Tidak
Berkelompok
|
Data
Berkelompok
|
|
|
Kuartil 1
(K1)
|
[1(n+1)]/4
|
1n/4
|
|
Kuartil 2
(K2)
|
[2(n+1)]/4
|
2n/4
|
|
Kuartil 3
(K3)
|
[3(n+1)]/4
|
3n/4
|
Contoh data
tidak berkelompok yang memiliki letak kuartil bulat : Berikut adalah harga
saham 19 perusahaan yang terdaftar di BEJ. Dari data tersebut carilah K1,K2,
dan K3!
|
No.
|
Perusahaan
|
Harga
Saham
|
|
1
|
PT Kimia
Farma
|
160
|
|
2
|
PT United
Tractor
|
285
|
|
3
|
PT Bank
Swadesi
|
300
|
|
4
|
PT Hexindo
Adi Perkasa
|
360
|
|
5
|
PT Bank
Lippo
|
370
|
|
6
|
PT Dankos
Laboratories
|
405
|
|
7
|
PT
Matahari Putra Prima
|
410
|
|
8
|
PT Jakarta
International Hotel
|
450
|
|
9
|
PT Berlian
Laju Tangker
|
500
|
|
10
|
PT Mustika
Ratu
|
500
|
|
11
|
PT Ultra
Jaya Milk
|
500
|
|
12
|
PT
Indosiar Visual Mandiri
|
525
|
|
13
|
PT Great
River Int.
|
550
|
|
14
|
PT Ades
Alfindo
|
550
|
|
15
|
PT Lippo
Land Development
|
575
|
|
16
|
PT
Asuransi Ramayana
|
600
|
|
17
|
PT Bank
Buana Nusantara
|
650
|
|
18
|
PT Timah
|
700
|
|
19
|
PT Hero
Supermarket
|
875
|
Penyelesaian
:
K1
= [1(n+1)]/4 = [1 (19+1)]/4 = (1 x 20)/4 = 20/4 = 5 ———-> Jadi nilai K1
adalah 370
K2
= [2(n+1)]/4 = [2 (19+1)]/4 = (2 x 20)/4 = 40/4 = 10 ———-> Jadi nilai K2
adalah 500
K3
= [3(n+1)]/4 = [3 (19+1)]/4 = (3 x 20)/4 = 60/4 = 15 ———-> Jadi nilai K3
adalah 575
Contoh data
tidak berkelompok yang memiliki letak kuartil pecahan : Berikut adalah
keuntungan bersih 8 perusahaan pada tahub 2007. Carilah K1,K2,
dan K3!
|
No.
|
Perusahaan
|
Keuntungan
|
|
1
|
PT Alfa
Retailindo
|
25
|
|
2
|
PT Astra
Graphia
|
65
|
|
3
|
PT Aneka
Tambang
|
123
|
|
4
|
PT Astra
Agro Lestari
|
180
|
|
5
|
PT
Bimantara Citra
|
392
|
|
6
|
PT Indosat
|
436
|
|
7
|
PT H. M.
Sampoerna
|
1480
|
|
8
|
PT Telkom
|
7568
|
Penyelesaiannya
:
K1
= [1(n+1)]/4 = [1 (8+1)]/4 = (1 x 9)/4 = 9/4 = 2,25
K2
= [2(n+1)]/4 = [2 (8+1)]/4 = (2 x 9)/4 = 18/4 = 4,50
K3
= [3(n+1)]/4 = [3 (8+1)]/4 = (3 x 9)/4 = 27/4 = 6,75
Apabila
letak kuartil berupa pecahan, atau tidak ada nilai yang pas pada letak
tersebut, maka untuk menghitung nilai kuartil menggunakan rumus sebagai
berikut:
NK = NKB + [
(LK – LKB) / (LKA – LKB) ] x (NKA – NKB )
Dimana :
NK
= Nilai kuartil
NKB
= Nilai kuartil yang berada di bawah letak kuartil
LK
= Letak kuartil
LKB
= Letak data kuartil yang berada di bawah letak kuartil
LKA
= Letak data kuartil yang berada di atas letak kuartil
NKA
= Nilai kuartil yang berada di atas letak kuartil
Jadi, nilai
kuartil untuk letak kuartil 2,25 adalah :
NK = 65 + [ (2,25 – 2) – (3 – 2) ] x (123 – 65)
= 65 +
(0,25/1) x 58
= 65 + 1
= 79,5
Nilai
kuartil untuk kuartil 4,5 adalah :
NK
= 180 + [ (4,5 – 4) – (5 – 4) ] x (392 – 180)
= 180 +
(0,5/1) x 212
= 180 + 106
= 286
Nilai
kuartil untuk kuartil 6,75 adalah :
NK
= 436 + [ (6,75 – 6) – (7 – 6) ] x (1480 – 436)
= 436 +
(0,75/1) x 1.044
= 436 + 783
= 1.219
Contoh data
berkelompok : Hitunglah K1,K2, dan K3 dari
data yang sudah dikelompokkan pada kasus 20 saham pilihan pada bulan Juni 2007
di BEJ!
|
Kelas
|
frekuensi
|
Frekuensi
kumulatif
|
Nilai Tepi
Kelas
|
|
160 – 303
|
2
|
0
|
159,5
|
|
304 – 447
|
5
|
2
|
303,5
|
|
448 – 591
|
9
|
7
|
447,5
|
|
592 – 735
|
3
|
16
|
591,5
|
|
736 – 878
|
1
|
19
|
735,5
|
|
20
|
878,5
|
Penyelesaiannya
:
a.
Menentukan letak data kuartil untuk data berkelompok
K1
= ( 1 x 20 )/4 = 5
K2 =
( 2 x 20 )/4 = 10
K3 =
( 3 X 20 )/4 = 15
b. Melakukan
interpolasi untuk mengetahui nilai kuartil dengan rumus sebagai berikut:
Maka,
K1
= 303,5 + [(5 – 2)/5] x 143
= 303,5 +
85,8
= 389,3
K2
= 447,5 + [(10 – 7)/9] x 143
= 447,5 +
47,67
= 495,17
K3
= 447,5 + [(15 – 7)/9] x 143
= 447,5 +
127,1
= 574,61
NILAI
RATA-RATA UKUR
Nilai
rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah hasil perkalian bilangan
tersebut, diakar pangkatkan sebanyaknya bilangan itu sendiri.
Rata rata
ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data khususnya bila data tersebut
mempunyai ciri tertentu yaitu banyaknya nilai data yang satu sama lain saling
berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang berurutan tetap atau
hampir tetap. Bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini maka rata
rata ukur akan lebih baik dari pada rata rata hitung. Cara menghitung
nilai rata-rata ukur :
Rata rata
ukur G dari kelompok data Xi , X2 , X3 ,
…Xn didefinisikan sebagai berikut :
Contoh:
Tentukan rata rata ukur (GEOMETRIC MEAN) data 2, 4, 8
Penyelesaiannya
:
n = 3
Log 2 =
0,3010
Log 4 =
0,6021
Log 8 =
0,9031
Maka Log 2 +
Log 4 + Log 8 = 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 = 1,8062
Jadi,
rata-rata ukurnya 4
NILAI RATA-RATA
HARMONIK
Rata-rata
harmonik dari suatu kumpulan data X1, X2, …, Xn adalah
kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat
dinyatakan dengan formula berikut:
Secara umum,
rata-rata harmonik jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data
yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai
ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju
perubahan, seperti kecepatan.
Contoh:
Nyonya
Lukman melakukan perjalanan dari Bandung ke Sidoarjo pulang
pergi, Dalam perjalanan tersebut naik kereta api.
Bertolak dari Bandung ke Sidoarjo berkecepatan 90 km/jam, tetapi waktu pulang
mampir dulu ke yagyakarta dengan kecepatan 70 km/jam, kemudian hari berikutnya
dilanjutkan lagi perjalanan menuju Bandung dengan kecepatan 80 km/jam,
berapakah kecepatan rata rata perjalan nyonya Lukman
Penyelesaiannya
:
Kecepatan
Pertama X1 = 90 km / jam
Kecepatan
Kedua X2 = 70 km / jam
Kecepatan
Ketiga X3 = 80 km / jam
n = 3
Jadi,
rata-rata harmoniknya 79.155km/jam
